Définition
Définition :
Soit \((E,\tau)\) un espace topologique
Soit \(x\in E\)
\(V\) est un voisinage de \(x\) si $$\exists U\in\tau,\qquad x\in U\subset V$$
On note \(\mathcal V(x)\) l'ensemble des voisinages de \(x\)
Propriétés
Base de voisinages
Non vide
Remarque :
\(\mathcal V(x)\) est toujours non vide car \(E\in\mathcal V(x)\)
Intersection
Une intersection finie de voisinages est un voisinage
Lien avec les ouverts
Proposition (lien entre voisinages et ouverts) :
Une partie \(U\subset E\) est ouverte si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses points
(
Ouvert)
Lien entre voisinages et ouverts :
- \(U\subset E\)
- \(U\) est voisinage de chacun de ses points
$$\Huge\iff$$
Définition d'une topologie
Définition d'une topologie par les voisinages :
- \(\mathcal V(x)\subset{\mathcal P}(E)\)
- \(\forall x\in E,\forall V\in\mathcal V(x),x\in V\) (\(x\) est dans ses voisinages)
- \(\forall V\in\mathcal V(x),\forall W\supset V,W\in\mathcal V(x)\) (les sous-ensembles de voisinages sont des voisinages)
- \(\forall V,W\in\mathcal V(x),V\cap W\in\mathcal V(x)\) (stabilité par intersection)
- \(\forall x\in E,E\in\mathcal V(x)\) (\(E\) est toujours un voisinage)
- \(\forall V\in\mathcal V(x),\exists W\in\mathcal V(x),\forall y\in W,V\in\mathcal V(y)\) (pour tout voisinage, il existe un autre voisinage tel que le premier voisinage est voisinage de tous les éléments du deuxième)
$$\Huge\iff$$
- il existe une unique topologie \(\tau\) telle que \(\forall x\in E\), les voisinages de \(x\) sont \(\mathcal V(x)\)