Proposition :
Pour tout vecteur \(\vec u\), la translation \(T_\vec u\) est une isométrie, avec $${{T^{-1}_\vec u}}={{T_{-\vec u} }}$$
Définition d'une translation par deux points
Proposition :
Si \(T\) est une translation et \(B=T(A)\), alors $$T={{T_{\overrightarrow{AB} } }}$$
Proposition :
Si il existe un point \(A\) tel que \(T_\vec u(A)=T_\vec v(A)\), alors $$\vec u =\vec v\quad\text{ et }\quad T_\vec u=T_\vec v$$
Caractérisation
Proposition :
L'application \(T\) est une translation si et seulement si $$\exists(\forall)A,\forall \vec u,\quad T(A+\vec u)=T(A)+\vec u$$
Caractère affine
Proposition :
Les translations sont affines
(Fonction affine)