Probabilité sur \({\mathcal P}(\Omega)\) : application \(\Bbb P:{\mathcal P}(\Omega)\to[0,1]\) vérifiant :
- \(\Bbb P(\Omega)=1\)
- Si \(\Omega\) est fini : $$\forall A,B\in{\mathcal P}(\Omega), A\cap B=\varnothing,\quad\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)$$
- Si \(\Omega\) est infini : \(\Bbb P\) est \(\sigma\)-additive : pour toute famille \((A_n)_{n\in I}\) d'événements \(2\) à \(2\) incompatibles, la série \(\sum_{n\in I}\Bbb P(A_n)\) converge et $$\Bbb P\left({\bigcup_{n\in I}A_n}\right)=\sum_{n\in I}\Bbb P(A_n)$$
(Ensemble des parties d’un ensemble, Univers, Ensemble fini, Evènements incompatibles, Suite d’évènements - Famille d’évènements, Série convergente, //Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Définition :
Une probabilité sur \((\Omega,\mathcal F)\) est une application de \(\mathcal F\) dans \([0,1]\) \(\sigma\)-additive et de masse totale \(1\) $$P:\begin{align}\mathcal F&\longrightarrow[0,1]\\ A&\longmapsto P(A)\end{align}$$
I.e. Elle est telle que :
- \(P(\Omega)=1\)
- \(P(\bigcup^{+\infty}_{n=1}A_n)=\sum^{+\infty}_{n=1} P(A_n)\) pour toute suite \((A_n)_{n\in{\Bbb N}^*}\) d'éléments de \(\mathcal F\) 2 à 2 disjoints
(Sigma-additivité, Masse totale, Fonction - Application)
\(\Bbb P(A)\) est la probabilité de \(A\)
Espace probabilisé
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $$P({{\Omega}})={{1}}$$
(Evènement certain)
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $$P({{\varnothing}})={{0}}$$
(Evènement impossible)
Propriété d'additivité :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Si \(A\cap B=\varnothing\), alors $$P({{A\cup B}})={{P(A)+P(B)}}$$
Propriété d'additivité :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Si \(A_1,\ldots,A_n\in\mathcal F\) sont deux à deux disjoints, alors $$P\left({{\bigcup^n_{i=1}A_i}}\right)={{\sum^n_{i=1}P(A_i)}}$$
(Additivité - Fonction additive)
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :$$\forall A\in\mathcal F,\qquad P({{A^C}})={{1-P(A)}}$$
(Négation, Complémentaire)
Propriété de croissance :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $${{A\subset B}}\implies {{P(A)\leqslant P(B)}}$$
Union de probabilités - Formule du crible - Formule de Poincaré
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Pour toute suite croissante d'événements \(B_1\subset B_2\subset\ldots\), $$P\left({{\bigcup^{+\infty}_{n=1}B_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(B_n)}}$$
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Pour toute suite décroissante d'événements \(C_1\supset C_1\supset\ldots\), $$P\left({{\bigcap^{+\infty}_{n=1}C_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(C_n)}}$$
La démonstration se fait de la même manière que pour les suites croissantes d'événements, en posant \(C_i=B_i^C\)
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :$${{P(A\cup B)}}\leqslant {{P(A)+P(B)}}$$
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $$\begin{align} {{P\left(\bigcup^n_{i=1}A_i\right)}}&\leqslant{{\sum^n_{i=1}P(A_i)}}\\ {{P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}A_i\right)}}&\leqslant{{\sum^{+\infty}_{i=1}P(A_i)}}\end{align}$$
Complémentaire
Inclusion
Union de probabilités - Formule du crible - Formule de Poincaré
Probabilité conditionnelle