Primitive d'une fonction :
Définition :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction définie sur un intervalle \(I\)
On dit que \(F:I\to\Bbb R\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est une fonction dérivable sur \(I\) et $$\forall x\in I,F'(x)=f(x)$$
(Dérivabilité, Dérivée d'une fonction)
Proposition :
Si \(f\in L^1({\Bbb R},{\mathcal B}({\Bbb R}),\lambda)\), alors la primitive \(F\) de \(f\) est donnée par : $$F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{]0,x]}f(t)\,dt&\text{si}\quad x\gt 0\\ \displaystyle-\int_{]x,0]}f(t)\,dt&\text{si}\quad x\leqslant0\end{cases}$$
Notation
Notation :
\(\int f(t)dt\), \(\int f(x)dx\) et \(\int f\) sont des primitives de \(f\)
Propriétés
Linéarité
Proposition :
Soit \(F\) une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\)
Alors...
\(F+G\) est une primitive de \(f+g\)
\(\forall\lambda\in\Bbb R\), \(\lambda F\) est une primitive de \(\lambda f\)