Consigne: Dire si l'ensemble $$A=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid\lvert x\rvert\neq1,\lvert y\rvert\neq1\}$$ est un ouvert
Montrons que $$B=A^C=\{(x,y)\in{\Bbb R}\mid \lvert x\rvert=1\text{ ou }\lvert y\rvert=1\}$$ est un fermé
Initialisation de la caractérisation d'un ouvert par une suite Soit \((x_n,y_n)_n\subset B\) une suite qui converge vers un point \((\alpha,\beta)\in{\Bbb R}^2\)
Montrons que \((\alpha,\beta)\in B\)
Principe des tiroirs \(\to\) tous les points sont sur la même droite Comme \((x_n,y_n)\in B\), soit \(\lvert x_n\rvert=1\), soit \(\lvert x_n\rvert=1\)
Comme on a une infinité de points sur les droites \(x=1\), \(x=-1\), \(y=1\) et \(y=-1\), il existe une droite parmi ces quatre qui a une infinité de points de la suite
On suppose par exemple la droite \(x=1\) contient une infinité de points \((x_n,y_n)\), donc quitte à éliminer tous les \((x_n,y_n)\) qui ne sont pas sur cette droite, on peut supposer que $$\forall n\in{\Bbb N}, x_n=1$$
Alors $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } x_n=1=\alpha$$
Donc \((\alpha,\beta)\in B\) car \(\lvert\alpha\rvert=1\)
Donc \(B\) est un fermé, on en déduit donc que \(A\) est un ouvert et \(\mathring A=A\)
(Principe des trous à pigeons - Principe des boîtes - Principe des tiroirs )