En utilisant les coordonnées, la norme \(\lVert\vec u\rVert\) du vecteur \(\vec u=\binom xy\) est : $$\lVert\vec u\rVert={{\sqrt{x^2+y^2} }}$$
(Coordonnées, Racine carrée, <-Théorème de Pythagore)
Cas des vecteurs à \(n\) dimensions
Dans \(\Bbb R^n\), la norme du vecteur \(\vec u\) est : $${{\lVert\vec u\rVert}}={{\sqrt{\sum^n_{i=1}u_i^2} }}$$
Topologie
Définition :
On appelle norme sur \(E\) une application de \(E\) dans \({\Bbb R}_+\) (habituellement notée \(\lVert\;\rVert\)) vérifiant pour tout \(x,y\in E\) et pour tout \(\lambda\in{\Bbb K}\), $$\begin{align}&\bullet{{\lVert\lambda x\rVert=\lvert\lambda\rvert\lVert x\rVert}}&{{\text{(homogénéité)} }}\\ &\bullet{{\lVert x\rVert=0\implies x=0}}\\ &\bullet{{\lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert}}&{{\text{(inégalité triangulaire)} }}\end{align}$$
(Fonction - Application, Homogénéité - Fonction homogène, Inégalité triangulaire)
Théorème :
Sur \({\Bbb R}^n\), toutes les normes sont équivalentes et définissent la même topologie
(i.e. Pour \(\lVert\;\rVert_A\) et \(\lVert\;\rVert_B\) des normes de \({\Bbb R}^n\), il existe \(C_1\) et \(C_2\) tq \(\forall x\in{\Bbb R}^n,\quad C_1\lVert x\rVert_A\leqslant\lVert x\rVert_B\leqslant C_2\rVert x\lVert_A\))
Continuité
La norme est une fonction continue
Dans un repère non orthonormé
Dans un repère non orthonormé, on a : $${{\left\lVert\binom xy\right\rVert}}={{\sqrt{(x,y)\cdot(x,y)} }}={{\sqrt{x^2\lVert \vec a \lVert^2+y^2\lVert\vec b\rVert^2+2xy\vec a\cdot\vec b} }}$$
(Repère orthonormé)
Exemples de normes
\({\Bbb R}\) : Valeur absolue
\({\Bbb C}\) : Module d'un nombre complexe
Sur \({\Bbb K}^n\), on définit la norme de \(x\) comme étant : $${{\lVert x\rVert_p}}=\begin{cases} {{\displaystyle\sum^n_{i=1}\lvert x_i\rvert}}&\text{si}\quad {{p=1}}&(\text{ norme de Manhattan })\\ \displaystyle{{\sqrt[p]{\sum^n_{i=1}\lvert x_i\rvert^p} }}&\text{si}\quad {{1\lt p\lt +\infty}}&(\text{ norme euclidienne })\\ \displaystyle{{\max_{i\in\{1,\ldots,n\} }\lvert x_i\rvert}}&\text{si}\quad {{p=+\infty}}\end{cases}$$toutes ces normes sont équivalentes
(Norme euclidienne, Norme de Manhattan) Norme infinie - Norme de la convergence uniforme
$${{\lVert x\rVert_0}}={{\text{nombre de coeffs non nuls de }x }}$$
Ce n'est pas une norme
Norme de fonctions
Quelques formules
On a : $${{\lVert a-b\rVert^2}}={{\lVert a\rVert^2+\lVert b\rVert^2-2\langle a,b\rangle}}$$
Proposition :
On a : $${{\lVert f+g\rVert^2}}={{\lVert f\rVert^2+\lVert g\rVert^2+2\Re\langle f,g\rangle}}$$