Définitions
Matrice
Soit \(n,p\in\Bbb N^\star\), on appelle matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes toute application $$A:\left\vert\begin{align}[1,n]\cap\Bbb N\times[1,p]\cap\Bbb N&\longrightarrow\Bbb R\\ (i,j)&\longmapsto a\end{align}\right.$$
On la note \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant p}\) et on dit que \(a_{ij}\) est le terme d'indice \((i,j)\) de \(A\)
On la représente par un tableau rectangulaire : \(A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots&a_{2,p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots&a_{n,n}\end{pmatrix}\)
Format d'une matrice
Format d'une matrice : couple \((n;p)\) où \(n\) est le nombre de lignes de la matrice et \(n\) son nombre de colonnes
Notation
Pour alléger la notation, on écrira \(u=(a_{ij})_{\underset{1\leqslant j\leqslant n}{1\leqslant i\leqslant m} }\) la matrice dont l'entrée à la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne vaut \(a_{ij}\)
L'ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes est noté \(\mathcal M_{n,p}(\Bbb R)\)
Propriétés
Espace vectoriel
>théorème :
>l'ensemble \(\operatorname{Mat}_{m\times n}(\Bbb R)\), muni d'une opération interne et d'une opération externe, est un \(\Bbb R\)-espace vectoriel
>de plus, le vecteur nul de cet espace vectoriel \(0_{M_{m,n}(\Bbb R)}\) est la matrice qui n'a que des zéros comme éléments et si \(M=(a_{ij})_{\underset{1\leqslant j\leqslant n}{1\leqslant i\leqslant m} }\), alors \(-M={{(-a_{ij})_{\underset{1\leqslant j\leqslant n}{1\leqslant i\leqslant m} } }}\)
(
Espace vectoriel,
Loi de composition interne - Opération interne - Loi,
Opération externe,
Vecteur nul,
Elément opposé - Inverse additif)
Types de matrices
Matrice carréeMatrice diagonale,
Matrice tridiagonaleMatrice triangulaire,
Matrice de Hessenberg,
Matrice triangulaireMatrice nilpotenteMatrice à diagonale dominante,
Matrice à diagonale strictement dominanteMatrice stochastique - Matrice de Markov
Matrice ligne
Matrice ligne : matrice n'ayant qu'une seule ligne
Matrice colonne
Matrice colonne : matrice n'ayant qu'une seule colonne
(//
Vecteur)
Relations entre matrices
Egalité
Deux matrices sont dites égales si elles ont le même format et les mêmes coefficients aux mêmes positions
Matrices commutativesMatrice d'une application linéaireMatrices équivalentesMatrices conjuguées - Matrices semblablesMatrice symétrique
Opération sur les matrices
Produit matricielPuissance d'une matrice carréeDéterminantMatrice transposéeNorme matricielleMatrice conjuguéeExponentielle d'une matrice - Système différentiel
Addition
Pour additionner deux matrices, on additionne les coefficients qui se trouvent aux mêmes positions entre eux
L'addition de matrice vérifie les propriétés de commutativité, associativité et distributivité
(
Commutativité - Symétrie,
Associativité,
Distributivité)
Produit d'un scalaire et d'une matrice
Soit \(A\) une matrice et \(k\) un réel
Le produit de \(A\) par \(k\), noté \(kA\), est la matrice de mêmematrice que \(A\), dont les matrice sont obtenus en multipliant tous les matrice de \(A\) par \(k\)
Associativité : \(k(k'A)=(kk')A\)
Différence entre deux matrices
Soient \(A\) et \(B\) des matrices de même format
La différence de deux matrices est définie par : $$A-B=A+(-1)\times B$$
Matrices particulières
Matrice nulleMatrice identité - Matrice unitéMatrice élémentaireMatrice de Van der MondeMatrice de rotationMatrice jacobienne - JacobienneForme normale de Jordan - Réduction de Jordan (Bloc de Jordan)
Réduction de matrices
Diagonalisation - Matrice diagonalisableTrigonalisation - Matrice trigonalisableForme normale de Jordan - Réduction de Jordan