Définition :
Soit \(C\) un point et \(\lambda\) un réel
L'application $${{H_{C,\lambda} }}:{{A}}\mapsto {{C+\lambda\overrightarrow{CA} }}$$ est appelée homothétie de centre \(C\) et de rayon \(\lambda\)
Propriété :
$$H_{C,\lambda}({{C+\vec u}})={{C+\lambda\vec u}}$$
Propriété :
$${{H_{C,\lambda_1}\circ H_{C,\lambda_2}=H_{C,\lambda_2}\circ H_{C,\lambda_1} }}={{H_{C,\lambda_1\lambda_2} }}$$
(Composition)
Proposition :
Les homothéties de rapport non nul sont des bijections, avec $$H^{-1}_{C,\lambda}={{H_{C,1/\lambda} }}$$
(Bijection)
Proposition :
$$H_{C,\lambda}\circ {{T_{\vec u} }}={{\vec T_{\lambda\vec u}\circ H_{C,\lambda} }}$$
(Composition, Translation)
Proposition :
Une homothétie \(H_{C,\lambda}\) est une \(\lvert\lambda\rvert\)-similitude
(Similitude)
Corollaire :
Une homothétie \(H_{C,\lambda}\) est une isométrie si et seulement si \(\lambda=\pm1\)
(Isométrie)
Proposition :
Le centre d'une homothétie non triviale est son unique point fixe
Corollaire :
Si \(H\) est une homothétie non triviale et \(H(C)=C\), alors \(C\) est le centre de l'homothétie
(Point fixe)
Proposition :
Nous avons \(H_{C_1,\lambda_1}=H_{C_2,\lambda_2}\) si et seulement si \(\lambda_1=\lambda_2\) et \(C_1=C_2\) dans le cas non trivial
Proposition :
Les homothéties sont affines
(Fonction affine)
Proposition :
Si \(\lambda\ne1\)$, alors {$$C\in(AB)$$
(Droite)
Proposition :
$$H_{C,{{1}} }={{\operatorname{Id}}}$$ on appelle cette homothétie l'homothétie triviale
(Application identité)