Définition
Soient \(f:\Omega\subset\Bbb R^m\to\Bbb R\) et \(M\in\Omega\) un point
On appelle gradient de \(f\) en \(M\) et on note \(\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_M\) ou \(\vec\nabla f(M)\) le vecteur $$\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0)\end{pmatrix}$$
(
Dérivée partielle)
Définition :
Si \(E={\Bbb R}^n,F={\Bbb R}\), et si \(f:E\to F\) est différentiable, on appelle gradient de \(f\) en \(a\) et on note \(\nabla f(a)\) : $${{\nabla f(a)}}={{D_f(a)^t=\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\right)}}$$
(
Matrice jacobienne - Jacobienne)
La fonction vectorielle $$\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}:\begin{align}\Omega&\longrightarrow\Bbb R^m\\ M&\longmapsto\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_M\end{align}$$ est appelée gradient de \(f\) ou champ des gradients de \(f\)
Il s'agit d'une fonction vectorielle continue
Les composantes du vecteur gradient de \(f\) en \(M\) sont les dérivées partielles de \(f\) en \(M\)
Méthodes pour calculer le gradient
Méthode pour calculer le gradient :- Montrer que la fonction est différentiable
- Calcul :
- calculer \(f(u+h)\) pour identifier la partie linéaire
- calculer les dérivées partielles
- dériver \(f(u+tv)\) par rapport à \(t\)
- utiliser la règle de la chaîne
Propriétés
Lien avec les dérivées directionnelles et la différentielle
$${{\langle\operatorname{grad} f(x_0)\mid v\rangle}}={{D_v f(x_0)=df(x_0)(v)}}$$
(
Dérivée directionnelle,
Produit scalaire,
Différentielle - Différentiabilité)
$${{df(a)(h)}}={{\langle\nabla f(a),h\rangle}}\nabla }}$$
Lien avec avec les lignes de niveau
Propriété :
Le gradient de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est orthogonal à la ligne de niveau passant par \((x_0,y_0)\)
(
Orthogonalité - Vecteurs orthogonaux,
Ligne de niveau)
Proposition :
Soit \(\gamma:I\subset\Bbb R\to\Omega\subset\Bbb R^2\) un paramétrage d'une partie des lignes de niveau de \(f\)
Alors le vecteur vitesse \(\overrightarrow{\gamma'(t)}\) est orthogonal au gradient de \(f\) au point \(\gamma(t)\), \(\overrightarrow{\operatorname{grad} }(f)_{\gamma(t)}\)
(i.e. Le gradient de \(f\) est orthogonal aux lignes de niveau de \(f\))
(
Courbe - Courbe paramétrée,
Ligne de niveau,
Orthogonalité - Vecteurs orthogonaux)
Démonstration : ^[
![](.\Img\Pasted image 20220316103409.png)
]
Cette proposition permet de retrouver l'équation du plan tangent à la courbe de niveau (
Plan tangent)
Corrolaire \(\to\)
Tangente (géométrie) (Plusieurs variables)
Lien avec le taux d'accroissement
Remarque :
Le gradient de \(f\) pointe vers la direction où \(f\) varie le plus vite
\(\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\) indique la direction de plus grande pente du graphe de \(f\), i.e. La direction dans laquelle \(f\) augmente le plus vite
Démonstration : ^[
![](.\Img\Pasted image 20220316105247.png)
]
La direction et la magnitude de \(\nabla f\) donnent la direction du plus grand taux d'accroissement de \(f\) ainsi que le taux de cet accroissement
(
Taux d'accroissement,
Direction)
Utilisation
Recherche de
Point critique \(\to\)
Descente de gradient
Notions liées
Développement limitéDifférentielle - DifférentiabilitéChamp des gradients