Gradient de \(f\) en \(x\)
Vecteur des Dérivée partielles de \(f\) en \(x\). $$\nabla f(x):=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_N}(x)\end{pmatrix}$$

• correspond à la Représentation de Riesz de la Différentielle \(df(x)\) (qui est une Forme linéaire) : $$df(x)(h)=\langle{\nabla f(x),h}\rangle _{{\Bbb R}^N}$$

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la règle de la chaîne pour \(\nabla f\) pour \(f=u\circ v\), avec \(u:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) et \(v:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\).
Verso: $$\nabla f(x)=u^\prime(v(x))\cdot\nabla v(x)$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Exercices

Soit \(f:x\mapsto\lVert x\rVert_2\). Calculer \(\nabla f(x)\).

Passer par les dérivées partielles.
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2} }=\frac{x_i}{\lVert x\rVert}$$

On peut remettre le gradient sous une jolie forme.

$$\nabla f(x)=\frac{x}{\lVert x\rVert}$$