Disjonctions des cas : montrer que les boules ne sont pas incluses dans \(B\) avec des \(\varepsilon\)
1er cas : si \(\alpha=\pm1\) et \(\beta\neq\pm1\)
Soit \((a,b)=(\alpha+\varepsilon,\beta)\) pour \(0\lt \varepsilon\lt r,1\)
Alors
- Si \(\alpha=1\), \(a=1+\varepsilon\lt 1\), donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=-1\), \(1\gt 0\gt a=-1+\varepsilon\gt -1\), donc \((a,b)\in B\)
2e cas : si \(\alpha\neq\pm1\) et \(\beta=\pm1\)
Soit \((a,b)=(\alpha,\beta+\varepsilon)\), avec \(0\lt \varepsilon\lt r,1\)
Alors
- Si \(\beta=1\), \(b=1+\varepsilon\gt 1\), donc, puisque \(\lvert a\rvert\neq1\), \((a,b)\notin B\)
- Si \(\beta=-1\), \(b=-1+\varepsilon\lt 0\), donc \(\lvert b\rvert\neq1\) et \(\lvert a\rvert\neq1\), donc \((a,b)\notin B\)
3e cas : si \(\lvert\alpha\rvert=1\) et \(\lvert\beta\rvert=1\)
Soit \((a,b)=(\alpha+\varepsilon,\beta+\varepsilon)\), avec \(0\lt \varepsilon\lt r,1\)
Alors on a :
- Si \(\alpha=1,\beta=1\), \(a\gt 1,b\gt 1\) donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=-1,\beta=1\), \(-1\lt a\lt 0,b\gt 1\) donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=1,\beta=-1\), \(a\gt 1,-1\lt b\lt 0\) donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=-1,\beta=-1\), \(-1\lt a+\lt 0,-1\lt b\lt 0\) donc \((a,b)\notin B\)
Prouver que les points utilisés sont pourtant bien dans les boules
De plus, $$\lVert(\alpha,\beta)-(a,b)\lVert_2=\lVert(\varepsilon,\varepsilon)\rVert_2=\varepsilon\sqrt2\lt r$$
Donc \((a,b)\in B((\alpha,\beta),r)\)
Ainsi $$\forall(\alpha,\beta)\in B,\forall r\gt 0,\exists(a,b)\in B((\alpha,\beta),r)\setminus B$$
Donc \(\mathring B=\varnothing\)