Déterminant de deux vecteurs \(\vec{u}\binom{a_1}{b_1}\) et \(\vec{v}\binom{a_2}{b_2}\) : $${{\operatorname{Det}(\vec{u},\vec{v})}}={{\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix} }}={{a_1b_2-a_2b_1}}$$
Dans le plan, le déterminant est égal au produit vectoriel : $${{\operatorname{Det}(\vec u,\vec v)}}={{\vec u\land\vec v}}$$
(Plan, Produit vectoriel)
Produit mixte
[déterminant]
\(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) sont coplanaires si et seulement si \(\operatorname{det}(\vec u,\vec v,\vec w)=0\)
(Vecteurs coplanaires)
Définition :
Soit \(X=\begin{pmatrix} x_{11}&\ldots&x_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&\ldots&x_{nn}\end{pmatrix}\)
Alors $${{\operatorname{det}(X)}}:={{\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)x_{\sigma(1)1}\cdots x_{\sigma(n)n} }}$$
(Matrice carrée, Signature d’une permutation)
L'aire d'un parallélogramme de côtés \(\vec u\) et \(\vec v\) est égale au déterminant \(\operatorname{Det}(\vec{u},\vec{v})\)
Le déterminant d'une matrice est nul s'il existe une relation linéaire entre les lignes de cette matrice
(Matrice)
- \(\operatorname{det}\) change de signe après une permutation de deux vecteurs : $${{\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{pmatrix} }}={{-\operatorname{det}\begin{pmatrix}b_1&a_1\\ b_2&a_2\end{pmatrix} }}$$
- $${{\operatorname{det}(\lambda\vec u,\vec v)}}={{\lambda\operatorname{det}(\vec u,\vec v)}}$$
- $${{\operatorname{det}(\vec u_1,\vec u_2,\vec v)}}={{\operatorname{det}(\vec u_1,\vec v)+\operatorname{det}(\vec u_2,\vec v)}}$$
\(\implies\) \(\operatorname{det}\) est linéaire
Le déterminant ne change pas lors d'un changement de base
(Changement de base)
Règle de Cramer - Méthode de Cramer
Produit mixte
Développement par colonne / par ligne :
Soit \(A\) une matrice de format \(n\times n\)
Pour \(i,j\in\{1,\ldots,n\}\), on considère \(M_{ij}\) la matrice de taille \((n-1)\times(n-1)\) obtenue à partir de \(A\) en supprimant la \(i\)ième ligne et la \(j\)ième colonne
En réitérant le procédé, on a : $$\begin{align}{{\operatorname{det}(A)}}={{\sum^n_{k=1}(-1)^{k+j}a_{kj}\operatorname{det}(M_{kj})}}\\ {{\operatorname{det}(A)}}={{\sum^n_{k=1}(-1)^{i+k}a_{ik}\operatorname{det}(M_{ik})}}\end{align}$$
Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de format \(n\times n\)
Alors $$\operatorname{Det}(AB)={{\operatorname{Det}(A)\cdot\operatorname{Det}(B)=\operatorname{Det}(BA)}}$$
(Matrice carrée, Produit matriciel)
Si la matrice \(A\) est inversible, alors $${{\operatorname{Det}(A^{-1})}}={{\frac1{\operatorname{Det}(A)} }}$$
(Matrice inversible - Inversion de matrice, Matrice inverse)
Si \(M\) est une matrice de dimension \(n\in{\Bbb N}^*\), alors $${{\operatorname{det}(-M)}}={{(-1)^n\operatorname{det}(M)}}$$
$$\operatorname{det}(\vec u,\vec u,\vec v)={{0}}$$ (car deux vecteurs sont toujours coplanaires)
(Vecteurs coplanaires)
$${{M\in\mathcal P(A,\vec u,\vec v)}}\iff{{\operatorname{det}(\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v)=0}}$$
(Plan)
$$\operatorname{Det}(\operatorname{Id})={{1}}$$
(Application identité)
$$\operatorname{det} (^\text tA)={{\operatorname{det}(A)}}$$
Si \(A\) est une matrice triangulaire, alors $${{\operatorname{Det} A}}={{a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} }}$$
(Matrice triangulaire)
Si \(A\) est une matrice triangulaire par bloc, alors $${{\operatorname{Det}(A)}}={{\operatorname{Det}(A_{11})\cdot\operatorname{Det}(A_{22})\cdots\operatorname{Det}(A_{nn})}}$$
(Matrice triangulaire)