Consigne: Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
Pour \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a \(f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1+x}2\right)=2f(x)\) et \(g\left(\frac x2\right)+g\left(\frac{1+x}2\right)=2g(x)\)
La fonction \(D\) se prolonge par continuité en une fonction \(\tilde D\) sur \({\Bbb R}\) telle que \(\tilde D(0)=0\)
Justifier l'existence de \(\alpha\in[0,1]\) tel que \(\tilde D(\alpha)=M\), où \(M=\sup_{t\in[0,1]}\tilde D(t)\), puis montrer que $$\forall n\in{\Bbb N},\qquad\tilde D\left(\frac\alpha{2^n}\right)=M$$
Théorème fondamental sur les fonctions continues \(\tilde D\) est continue et périodique, donc \(\tilde D\) atteint sa plus grande valeur sur \([0,1]\) car \([0,1]\) est compact
De plus \(M\geqslant0\) car \(\tilde D(0)=0\)
Utiliser la relation Supposons \(\alpha\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
Alors : $$\tilde D\left(\frac\alpha2\right)+\tilde D\left(\frac{\alpha+1}2\right)=2\tilde D(\alpha)=2M$$
Si \(\tilde D(\frac\alpha2)\lt M\), alors on a une contradiction car \(\tilde D(\frac{\alpha+1}2)\leqslant M\) et donc \(\tilde D(\frac\alpha2)+\tilde D(\frac{\alpha+1}2)\lt M\)
On conclut que si \(\alpha\in\,]0,1[\), ou \(\tilde D(\alpha)=\sup_{x\in{\Bbb R}}\tilde D(x)=M\)
Alors \(\tilde D(\frac\alpha2)=M\) et \(\frac\alpha2\in\,]0,1[\)
Récurrence
Par récurrence, $$\tilde D\left(\frac\alpha{2^n}\right)=M\qquad\forall n$$