Définition :
On dit que \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\) si pour toute suite \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\), \(x_n\in K\), alors $$\exists x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K$$
START
Théorème
Définition
Hypothèses:
\(K\) est un ensemble
pour toute suite \((x_n)_{n\in\Bbb N}\), avec \(\forall n, x_n\in K\), on a : $$\exists x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K$$ (pour toute suite d'éléments de \(K\), il existe une sous-suite de cette suite qui converge vers un élément de \(K\))
Un compact de \({\Bbb R}\) est toujours borné et fermé
(Ensemble borné, Fermé)
Tout ensemble fermé et borné \(\subset{\Bbb R}\) est un compact de \({\Bbb R}\)
(Ensemble borné, Fermé)
Caractérisation dans \({\Bbb R}\) :
\(E\subset{\Bbb R}\)
\(E\) est fermé
\(E\) est borné
$$\Huge\iff$$
\(E\) est un compact de \({\Bbb R}\)
Caractérisation d'un sous-ensemble compact :
soit \((E,\tau)\) un espace topologique
soit \(K\subset E\)
\(K\) est séparé
de tout recouvrement ouvert de \(K\) pour la topologie de \(E\), on peut extraire un sous-recouvrement fini
$$\Huge\iff$$
\(K\) est compact
Proposition :
Tout sous-espace fermé d'un espace compact est compact
Si \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\), alors \(\overline K={{K}}\)
(Adhérence)
Bornes
Soit \(K\) un compact de \({\Bbb R}\)
Si \(f:K\to{\Bbb R}\) est continue, alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes
(Continuité, Fonction bornée)
Caractérisation par les fermés
Caractérisation des compacts par les fermés :
soit \((E,\tau)\) un espace séparé
toute famille de fermés dont les intersections finies sont toutes non vides a une intersection non vide
$$\Huge\iff$$
\(E\) est compact
Corollaire :
Dans un compact, toute intersection \(\downarrow\) de fermés non vides est non vide
Proposition :
Un sous-ensemble compact d'un espace séparé est fermé