Définition :
Étant donné un point \(O\) et un réel positif \(R\gt 0\), le cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble : $${{C(O,R)}}={{\{A\mid OA=R\} }}$$
Définition :
Étant donné un point \(O\) et un réel positif \(R\gt 0\), l'intérieur du cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble : $${{\{A\mid OA\lt R\} }}$$
Définition :
Étant donné un point \(O\) et un réel positif \(R\gt 0\), l'extérieur du cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble : $${{\{A\mid OA\gt R\} }}$$
Définition :
On dit qu'un ensemble est à l'intérieur (resp. À l'extérieur) d'un cercle s'il est contenu dans son intérieur (resp. Son extérieur)
Notation
[notation]
\(\mathcal C(A,B)\) \(\longleftrightarrow\) cercle de centre \(A\) passant par \(B\)
[notation]
\(\mathcal C^*(A,B)\) \(\longleftrightarrow\) \(\mathcal C(A,B)\setminus(B)\)
[notation]
\(\mathcal C[AB]\) \(\longleftrightarrow\) cercle de diamètre \([AB]\), autrement dit \(\mathcal C(\frac{A+B}2,B)\)
[notation]
\(\mathcal C(A,BC)\) \(\longleftrightarrow\) cercle de centre \(A\) et de rayon \(BC\)
[notation]
\(\mathcal C(A,B,C)\) \(\longleftrightarrow\) cercle passant par \(A,B,C\) non alignés
Equation
Le point \(P=(x,y)\) appartient au cercle de centre \(C=(x_0,y_0)\) si et seulement si $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$
Propriétés
Liens avec la distance avec un ensemble de points
Proposition :
Soit \(A\) un point et \(\chi\) un ensemble de points
Alors \(d(A,\chi)\geqslant R\) si et seulement si \(\chi\) n'a pas de points à l'intérieur du cercle \(C(A,R)\)
(Distance (Entre un point et un ensemble de points))
Intersection avec un segment
Proposition :
Soit \(C\) un cercle, \(A\) un point à l'intérieur de \(C\) et \(B\) un point à l'extérieur de \(C\)
Alors $$C\;\cap\;]AB[\ne\varnothing\quad\text{ et }\quad \#(C\;\cap\;]AB[)=1$$
(Segment)
Intersection avec une demi-droite
Proposition :
Soit \(C\) un cercle, \(A\) un point intérieur à \(C\)
Pour tout \(B\ne A\), on a $$C\;\cap\;]AB)\ne\varnothing\quad\text{ et }\quad\#(C\;\cap\;]AB))=1$$
(Demi-droite)
Coordonnées d'un point du cercle
Proposition :
Soit \(\alpha\in{\Bbb R}\setminus2\pi{\Bbb R}\) et \(A\) le point du cercle unité tel que \(\measuredangle(Ox,OA)=\alpha\), alors on nomme les coordonnées de \(A\) : $$A({{\cos\alpha}},{{\sin\alpha}})$$
(Cosinus, Sinus)