Proposition :
Soit \(E\) un ensemble tel que \(\operatorname{Card}(E)=n,n\in\Bbb N\)
Alors il y a \(n!\) bijections \(f\) possibles dans \(E\) telles que \(f:E\to E\)
(Cardinal - Cardinalité, Factorielle)
Démonstration (par récurrence sur \(\Bbb N\)) :
On associe \(\mathscr P_n\) à cette assertion au rang \(n\)
\(\mathscr P_1\) est vraie : il n'y a qu'une bijection de \(E=\{e_1\}\) dans \(E=\{e_1\}\)
Soit \(n\geqslant 1\). Soit \(\mathscr P_n\) vraie
Soit \(E=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}\). Par hypothèse de récurrence, il y a exactement \(n!\) applications bijectives de \(E\setminus\{e_1\}\to E\setminus\{e_1\}\)
Chaque application se prolonge en une bijection de \(E\) à \(F\) en posant \(e_1\to e_k\) : il y a \(n+1\) choix de \(e_k\)
\(n!(n+1)=(n+1)!\)
Alors \(\mathscr P_{n+1}\) est vraie
(Raisonnement par récurrence)