Définition
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\)
Une famille génératrice libre de \(F\) s'appelle une base de \(F\)
(
Famille libre - Famille linéairement indépendante,
Famille génératrice)
Intérêt
Théorème :
Si \((u_1,\ldots,u_m)\) est une base de \(F\subset E\), alors \(\forall v\in F\), il existe des uniques \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m\in\Bbb R\) tels que $$v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_mu_m$$
Démonstration : $$\begin{align}&F=\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_m)\\ &\text{donc }\forall v\in F,\exists\lambda_1,\ldots,\lambda_m,v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_mu_m\\ \\ &\text{supposons qu'il existe aussi }\mu_1,\ldots,\mu_n\text{ tels que}\\ &v=\mu_1u_1+\mu_2u_2+\ldots+\mu_mu_m\\ \\ &\text{alors }0_E=(\lambda_1-\mu_1)u_1+\ldots+(\lambda_m-\mu_m)u_m\\ &\implies\lambda_1=\mu_1,\ldots,\lambda_m=\mu_m\end{align}$$
Exemple : $$\begin{align}&\Bbb R^n=\left\{\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix},a_1,a_2,\ldots,a_n\in\Bbb R\right\}\\ &\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ a_2\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\ldots+\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\ldots+a_n\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\\ &=a_1e_1+a_2e_2+\ldots+a_ne_n\\ \\ &\text{conclusion : les vecteurs }e_1,e_2,\ldots,e_n\text{ forment une base de }\Bbb R^n\end{align}$$
Construction
Construction d'une base de \(E\neq\{0_E\}\) :- \(\exists u_1\neq\bar0\)
- \(u_2\notin\operatorname{Vect}(u_1)=\{\alpha u_1,\alpha\in\Bbb R\}\iff u_2\neq\alpha u_1\implies\{u_1,u_2\}\text{ est libre}\)
- Idem avec \(u_3\), etc
Propriétés
Liens avec le déterminant
Proposition :
\(u_1=\binom{a_1}{b_1}\) et \(u_2=\binom{a_2}{b_2}\) forment une base de \(\Bbb R^2\) si et seulement si le déterminant \(\operatorname{det}(u_1,u_2)\neq 0\)
(valable aussi dans \(\Bbb R^3\))
(
Déterminant)
Démonstration : $$\begin{align}&\text{il faut montrer que }\vec\forall v=\binom cd\in\Bbb R^2,\exists!\;x_1,x_2\in\Bbb R,x_1\vec u_1+x_2\vec u_2=\vec v\\ &\iff x_1\binom{a_1}{b_1}+x_2\binom{a_2}{b_2}=\binom cd\\ &\iff\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2=c\\ b_1x_1+b_2x_2=d\\ &\text{c'est vrai si et seulement si }\operatorname{det}(\vec u_1,\vec u_2)\neq0\end{cases}\end{align}$$
Nombre d'éléments
Théorème :
Si \(E\) est un espace vectoriel tq \(\operatorname{dim}E=n\in\Bbb N\), alors toute famille libre ou génératrice de \(E\) admettant exactement \(n\) éléments est une base de \(E\)
Concepts liés
Changement de baseThéorème de la base incomplète
Autres notations
Notation bra-ket - Formalisme de Dirac
Exercices