Définition :
Soient \(n\) points \(A_1,\ldots,A_n\) et un système de poids \(\omega_1,\ldots,\omega_n\) de poids total \(\omega\)
On appelle barycentre de \((A_1,\ldots,A_n)\) avec les poids \((\omega_1:\cdots:\omega_n)\) l'unique point \(G\) tel que $$\vec G=\sum\bar\omega_i\vec A_i=\frac1\omega\sum \omega_i\vec A_i$$ on note \({{\sum\bar\omega_iA_i}}:={{G}}\) ce barycentre
(Système de poids, Poids total, //Combinaison linéaire)
Propriétés
Indépendance de l'origine
Propriété :
On a les équivalences : $$\begin{align}& {{G=\sum\bar\omega_iA_i}}\\ \iff&{{\forall P,\omega\overrightarrow{PG}=\sum\omega_i\overrightarrow{PA_i} }}\\ \iff&{{\exists P,\omega\overrightarrow{PG}=\sum\omega_i\overrightarrow{PA_i} }}\end{align}$$
La position du barycentre est donc indépendante de la position de \(\Omega(0,0)\) par rapport aux points \(A_1,\ldots,A_n\)
Remarque :
Soient \(n\) points \(A_1,\ldots,A_n\) et un système de poids \(\omega_1,\ldots,\omega_n\) de poids total \(\omega\)
\(G\) est le barycentre de \((A_1,\ldots,A_n)\) avec les poids \((\omega_1:\cdots:\omega_n)\) si et seulement si $$\sum\bar\omega_i\overrightarrow{GA_i}=0$$
Notation
L'expression \(\sum\omega_iA_i\) n'a de sens que dans les deux cas particuliers :
c'est un point (le barycentre) quand \(\sum\omega_i=1\)